科古明心-心靈成長的喜悅道途

費馬最後定理 -你可曾在地獄裡仰望天堂?

Last Updated on 2022-05-18 by 明心

費馬大定理,也被稱為費馬最後定理(Fermat’s Last Theorem) ,一段可歌可泣的真實故事。

在成長的過程中,你應該曾遇過無數的困難。有時候,會選擇面對並跨越;有時候,則會感覺無力並且放棄。

今天我們便藉費馬大定理,聊聊你我生命中的那些困難與挑戰。

最難的問題,往往很簡單

我們曾介紹了費馬其人,以及他留給後世的最終難題。

延伸閱讀:費馬,找屎的數學家

三百多年過去,英國一位名叫安德魯・約翰・懷爾斯(Andrew John Wiles,1953.04.11-)的10歲小男孩,在圖書館中看到這個問題:

當 n ≥ 3 且為正整數時,Xn+Yn=Zn 沒有正整數解

懷爾斯的心情又好奇又訝異,這個連小學生都能看懂的問題,為什麼數百年來那麼多人都無法解開呢?

一個夢想悄悄地誕生,他想要來解開這個問題!


雖然很快地就被放棄,因為懷爾斯發覺自己欠缺太多解答問題的鑰匙。

直到33歲時,懷爾斯才再次點燃兒時夢想的火炬。

這個決定,創造了歷史。

你有過兒時的夢想嗎?

你也曾因為自認無法成就而放棄夢想嗎?

夢想,為何被你放棄?何時又被拾起?

在就讀劍橋大學(University of Cambridge)就讀研究所之前,懷爾斯曾多次挑戰費馬大定理,但在自己屢次失敗、指導教授的勸阻、無數前人花費大量精力心血依然徒勞無功後,懷爾斯選擇面對現實,藏起他的夢想。

轉而以岩澤理論(Iwasawa theory)用以分析主流熱門的議題:橢圓曲線(Elliptic Curve),這既不是橢圓、也不是曲線,而是類似甜甜圈的圓環狀形式。

這與數論領域的費馬大定理看似大相逕庭,似乎訴說著懷爾斯兒時的夢想,終將淹沒在現實的掙扎之中。


但命運之鐘在1957年輕輕擺盪,世界彼端的日出之國,谷山豐和志村五郎兩位年輕的數學家提出了谷山-志村猜想(如今已被證實為谷山-志村定理,Taniyama-Shimura theorem),彷彿世界也不忍懷爾斯的夢就此黯淡。

谷山-志村猜想,認為橢圓曲線和模形式(modular form,擁有極其複雜對稱性的複數平面函數)有著對應關係。

正如多數人在國高中時接觸了平面座標系,能夠將代數(數字)與幾何(圖形)做出對應轉換的關係一樣,這個猜想為橢圓曲線和模形式架起了一座橋樑。

費馬最後定理 平面座標系
平面座標系,是代數與幾何之橋

1986年,數學家格爾哈德・弗萊(Gerhard Frey)徹底替懷爾斯敲響了命運之鐘!他同樣的替費馬大定理和谷山-志村間架起一座橋。

在這兩座橋的幫助下,只要懷爾斯能夠證明谷山-志村猜想,就能證明費馬大定理!而擁有橢圓曲線領域研究經驗的懷爾斯,已與過去不同!

33歲的懷爾斯,在此刻決定重拾兒時的夢想!

為了夢想,你願意付出多大的代價?

如果讓你看到實現夢想的曙光,你願意堅持多久時間呢?

懷爾斯放下所有的研究工作、外在交流,僅有查閱文獻時才與外界接觸。除了妻子,沒有人知道他正試圖證明費馬大定理。

一則避免外界干擾,二則為了避開近乎整個數學界不自量力的目光。

他秘密地、孤獨地、專注地在家中尋找通向真理的解答。

這趟孤獨的旅程,足足走了七年。

關於 方向

二十世紀初,曾有人向當時數學界的武林盟主,大衛・希爾伯特(David Hilbert)問道:「為何您不證明費馬大定理?」

希爾伯特答道:「開始研究前,我得先用三年深入地研究,但我沒那麽多(德國)時間浪費在一件可能會失敗的事情上。」

懷爾斯花了七年,在這件可能會失敗的事情上。

因為這是他兒時的夢想。

光是選對方向,就是一種前進

在頭三年,懷爾斯思索要使用那項工具,去證明谷山-志村猜想。他決定從計算橢圓曲線和模形式的數量下手,尋找一種特殊的計數工具,它被稱為類數公式(Class number formula)。

光是思索要使用類數公式,就花了三年。

後來,懷爾斯又花了兩年時間,嘗試以研究生時期的岩澤理論,試圖建構類數公式,反反覆覆卻收效甚微。

1991年夏末,懷爾斯曾經的指導教授提供了另一條線索:Kolyvagin-Flach方法,協助懷爾斯邁出建構類數公式的關鍵一步。

於是懷爾斯決定徹底放棄岩澤理論,以Kolyvagin-Flach方法向夢想的終點大步前行!

成長與進步,可能只是確信下一步的方向

明心

合作,包含著過去與當下

接近證明的尾聲,為了解決一些關鍵性的問題,懷爾斯與普林斯頓(Princeton University)的同事尼古拉斯・卡茲(Nicholas Katz)秘密地合作。

甚至為了掩護彼此的交流,懷爾斯開設了一門課程,以利彼此交流。懷爾斯向學生說明課程目的是為了拓展Kolyvagin-Flach方法,以建構類數公式,卻沒有告訴學生建構成功這個類數公式,將直指費馬大定理。

但由於不清楚根本的目的,上課的研究生們一頭霧水(類似的事情牛頓也做過),數週後課堂上便只剩下懷爾斯和卡茲,交流就這麼無聲而順利的進展。


1993年5月,費爾斯已成功地將大多數橢圓曲線轉化為模形式,但卻仍有少數的橢圓曲線無法完成。

絞盡腦汁的懷爾斯,偶然看見數學家巴里・梅休爾(Barry Mazur)的一篇論文,有一句話提到19世紀的一種數學技巧,能將那些無法轉換的橢圓曲線化為已轉化完成的模形式中。

懷爾斯感受到,自己已湊齊最後一片拼圖。

最大的痛苦不是失敗,而是……

懷爾斯兒時閱讀的《最後問題》(The Last Problem),作者將費馬大定理當作回家作業,給讀者去解答,這或許是數學史上最難的回家作業之一了。

而在1993年6月21-23日,懷爾斯回到了夢想的起點-劍橋大學,在為期三日的研討會上繳交了「作業」。

懷爾斯以「橢圓曲線和模形式」為講題,並未提到費馬大定理,但人們卻已隱約聽到風聲,某個重大事件即將發生。


在整個數學界緊張而肅穆的期待中,懷爾斯平淡的描述著七年經歷中的淬煉。

黑板上的筆跡,彷彿承載著數百年來無數數學家的託付,在一位十歲少年的夢想之種上生根、發芽、成長、茁壯……

當懷爾斯講完橢圓曲線轉換的技巧後,在黑板上寫下費馬最後定理的描述。

他平靜地向世界說道:

I think I’ll stop there. (我想,我們就在這裡結束)

Andrew John Wiles

整個世界都在凝望著懷爾斯,鋪天蓋地的報導、目光、讚譽席捲而來。

三十年的夢想,七年的思索、專注、孤獨,似乎一切都有了圓滿的答案。

但在三個月的同儕論文審查中,其他數學家發現懷爾斯拓展Kolyvagin-Flach方法,建構歐拉系統(Euler System)時出現疏漏,導致根本性的謬誤,而這將影響整篇論文的成敗。

九月,懷爾斯找來以前的學生理查・泰勒(Richard Taylor)協助,嘗試改進方法以消除謬誤。但就好像大腳硬要塞入灰姑娘的水晶鞋,腳趾進去了腳根就跑出來、大拇指進去了腳根就進不去。

問題依舊無解。


昔日的歌頌與讚譽,如今變為壓力與質疑。

當時在懷爾斯任教的普林斯頓,流傳著這麼一句話:「人們不是在討論辛普森殺妻案,就是在討論懷爾斯失敗的費馬最後定理。」

焦慮

一年過去,懷爾斯依舊無法解決問題。

1994年9月14日,星期一,清晨。

懷爾斯最後一次翻閱論文手稿,想要讓腦袋接受自己的無能為力,給予失敗與放棄一個理由。

手稿的每個字句,都彷彿童年夢想的輓歌。書桌上凌亂的文件拷問著靈魂,八年的時間與投入是否值得。

恍若邁入無盡黑暗的地獄,沈重無比。

你會後悔,追尋夢想嗎?

「突然間,完全出乎意料地,我得到這令人難以置信的啟示。我意識到,讓我停駐的,正是可以解決問題的關鍵。」,懷爾斯如是回憶道。

三年前徹底拋棄的岩澤理論,竟然是解決眼前疏漏最重要的鑰匙!

如此簡單、如此典雅、如此優美,原來通往真理天堂大門的關鍵,早就在自己的手中。


三百五十八年的漫漫長路,在此刻走到了尾聲。

費馬最後的未知,也在此刻劃下圓滿的句點(請參考延伸閱讀)

延伸閱讀:菲爾茲獎-讓人困惑的人類心智巔峰……

安德魯・約翰・懷爾斯

用他的生命,在人類文明矗立了不朽的豐碑。人們會永遠記得他平靜的微笑,無論遭遇何等逆境困難,始終堅定地向世界發聲:

「我想,我們就在這裡結束。

如果覺得文章還不錯,歡迎和好友「分享」,下面按讚的按鈕,用力點五下可以「免費」的幫助我(需註冊),感謝你!!

或者如果你願意,可以「贊助我一杯咖啡」,你的支持是我書寫文章最大的動力之一。

小聲的說,其實右方下方的網站也都不賴,你也可以參考呦~(灬ºωº灬)
歡迎分享文章~(〃∀〃)

6 Comments

  1. Jinhan

    所以懷爾斯最後解出來的結果為何呢?想知道

    • 明心

      懷爾斯解出來的結果,是這個猜想成立~
      換句話說,是「當 n ≥ 3 且為正整數時,X^n+Y^n=Z^n 沒有正整數解」這句話是對的

  2. Summer

    三十年的夢想,七年的思索、專注、孤獨,似乎一切都有了圓滿的答案 !

    這段話寫的真好👍👍

    這輩子可以完成夢想,是件很幸福的事,那你的夢想是什麼呢?

    • 明心

      謝謝你~~~(´,,•ω•,,)♡

  3. Wesley

    谢谢你的文章! 真的让我思考我到底对自己的梦想有没有后悔。

    • 明心

      Σ>―(〃°ω°〃)♡→

發佈留言

發佈留言必須填寫的電子郵件地址不會公開。

© 2022 ScienceSpiritS

Theme by Anders NorenUp ↑